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João continuou o processo de dobradura, escrevendo os números, conforme a descrição acima, até concluir dez etapas. Calcule a soma de todos os números que estarão escritos na etapa 10.

Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura ao lado, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm. a) Determine a área da região destacada na figura. b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 arcos de circunferência.

Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando-se dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-se o quadrado central. Repete-se este processo de divisão, para os quadrados restantes, n vezes. Observe o processo para as duas primeiras divisões: QUADRADO DE LADO UNITÁRIO 1.º pivISÃO 2.º DIVISÃO Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do quadrado inicial e qual a soma das áreas dos quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente?